михайлов годографы примеры

Пусть передаточная функция системы имеет вид:

Пример 1. Построение годографа инверсии характеристического полинома системы и анализ ее устойчивости с помощью модифицированного критерия Михайлова

Как видно, (1) можно рассматривать как преобразование точек годографа Михайлова в другой, инверсный годограф на комплексной плоскости. Любой точке исходного годографа будет однозначно соответствовать точка на новом годографе, причем расстояния от этих точек до начала координат взаимнообратны, а углы поворота векторов противоположны. Поэтому, если исходный годограф Михайлова устойчивой системы разворачивается против часовой стрелки и стремится к бесконечности, то годограф его инверсии с увеличением частоты поворачивается по часовой стрелке и в пределе стремится к началу координат. Отметим, что для систем в критическом состоянии, когда годограф характеристического полинома проходит через начало координат, инверсный годограф может уходить в бесконечность на некоторых частотах.

$\Inv D(jω)=[D(jω)]^{-1}=1/D(jω)=|D(ω)|^{-1}ge^{-jφ_D(ω)}$.

Пусть $D(s)$ характеристический полином некоторой системы. В классической формулировке критерия Михайлова анализируется годограф функции мнимого аргумента $D(jω)=|D(ω)|ge^{jφ_D(ω)}$. Этот годограф проходит $n$ квадрантов против часовой стрелки в том и только в том случае, если система устойчива [3]. Для инверсии характеристического полинома можно записать:

САР устойчива тогда и только тогда, если годограф инверсии ее характеристического полинома начинается на действительной оси комплексной плоскости и при изменении частоты от нуля до бесконечности последовательно проходит по часовой стрелке $n$ квадрантов, где $n$ степень характеристического полинома. Инверсия характеристического полинома это дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе характеристический полином.

Сформулируем критерий Михайлова в виде:

Характеристический полином системы, по которому строится годограф Михайлова, можно рассматривать как дробно-рациональную функцию со знаменателем, равным единице. Для такой передаточной функции VisSim не может строить годографов. Тем не менее, если сформулировать критерий Михайлова для инверсии характеристического полинома, то требования VisSim a к передаточной функции будут выполнены, годограф инверсии может быть построен применением Nyquist Response и проанализирован с позиций критерия Михайлова.

Программа VisSim способна строить годографы комплексных коэффициентов передачи линейных систем, имеющих дробно-рациональные передаточные функции, степень числителя которых меньше степени знаменателя.

Обоснование метода:

Программы математического моделирования систем VisSim [1], SIMPLORER, DYNAST сегодня не имеют специального инструментария для построения годографа характеристического полинома системы. Однако для анализа устойчивости систем с помощью критерия Михайлова могут быть использованы их стандартные библиотеки частотного анализа.

О применении критерия Михайлова при анализе устойчивости линейной системы стандартными средствами программ математического моделирования

Илл. 7 (аним.), библ. 2.

Предназначено для преподавателей и студентов, изучающих теорию автоматического управления (ТАУ), а также инженеров, занимающихся исследованием систем автоматического управления.

Изложение иллюстрируется примерами с анимацией.

Предлагается использовать модифицированные формулировки критерия устойчивости Михайлова для обеспечения возможности анализа устойчивости линейных систем стандартными средствами VisSim. Критерий формулируется для инверсии характеристического полинома системы, а также для коэффициента передачи САР. Для построения годографа инверсии характеристического полинома системы применяется метод Nyquist Response. Годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой минимально-фазовой системы анализируется с позиций и критерия Михайлова и критерия Найквиста, что позволяет, используя их в связке, например, судить по одному годографу сразу и об устойчивости разомкнутой и об устойчивости замкнутой САР.

Федосов Б. Т., Клиначев Н. В. О применении критерия Михайлова при анализе устойчивости линейной системы стандартными средствами программ математического моделирования. Сообщение. Рудный, Челябинск, 2002.

ЮУрГУ, Челябинск, Россия

РИИ, Рудный, Казахстан

Критерий Михайлова в VisSim-е